特殊平行四边形之菱形和正方形
菱形知识点讲解：
一、概念
二、菱形性质
三、菱形判定
例题
1.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，则∠CEF＝____ 。
[分析]
首先证明△ABE≌△ACF,然后推出AE=AF,证明△AEF是等边三角形,得∠AEF=60°,最后求出∠CEF的度数.
[详解]
在菱形ABCD中，AB=CB，
∵∠B=60°，
∴∠BAC=60°,△ABC是等边三角形,
∵∠EAF=60°, ∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC,
即:∠BAE=∠CAF,
在△ABE和△ACF中,
∴△ABE≌△ACF(ASA),
∴AE=AF, 又∠EAF=∠D=60°,
则△AEF是等边三角形, ∴∠AEF=60°,
又∠AEC=∠B+∠BAE=80°,
则∠CEF=80°-60°=20°.
故答案为:20°.
2.如图，将一个长为 10 ㎝，宽为 8 ㎝的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两临边中点的连线剪下，再打开，得到的菱形面积为( )
A．10 ㎝² B．20 ㎝² C．40 ㎝² D．80 ㎝²
[分析]
矩形对折两次后，再沿两邻边中点的连线剪下，所得菱形的两条对角线的长分别原来矩形长和宽的一半，即5，4，所以菱形的面积可求．
[详解]
矩形对折两次后，所得的矩形的长、宽分别为原来的一半，即为5，4，
而沿两邻边中点的连线剪下，剪下的部分打开前相当于所得菱形的沿对角线两次对折的图形，
所以菱形的两条对角线的长分别为5，4，
所以S菱形=12×5×4=10cm2.
故选：A.
3.如图，四边形 ABCD 中，AB∥CD，AC 平分∠BAD，CE∥AD 交 AB于 E。
⑴求证：四边形 AECD 是菱形。
⑵若点 E 是 AB 的中点，试判断△ABC 的形状。
1）证明：∵AB∥CD，即AE∥CD，
又∵CE∥AD，∴四边形AECD是平行四边形．
∵AC平分∠BAD，∴∠CAE=∠CAD，
又∵AD∥CE，∴∠ACE=∠CAD，
∴∠ACE=∠CAE，
∴AE=CE，
∴四边形AECD是菱形；
（2）解：△ABC是直角三角形．
证法一：∵E是AB中点，∴AE=BE．
又∵AE=CE，∴BE=CE，∴∠B=∠BCE，
∵∠B+∠BCA+∠BAC=180°，
∴2∠BCE+2∠ACE=180°，∴∠BCE+∠ACE=90°．
即∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形．
证法二：连DE，由四边形AECD是菱形，得到DE⊥AC，且平分AC，设DE交AC于F，
∵E是AB的中点，且F为AC中点，
∴EF∥BC．∠AFE=90°，
∴∠ACB=∠AFE=90°，
∴BC⊥AC，
∴△ABC是直角三角形．
正方形形知识点讲解：
例题
4.如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 P 为 BC 边上的任意一点，分别过 D、B 做 AP 的垂线段，垂足分别是 F，G。猜想 DF2＋BG2的值， 并证明。
猜想：DF2＋BG2的的值是1；
证明如下：在△ADF和△ABG中∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∵AF⊥DF，BG⊥AG，∴∠DFA=∠AGB=90°，∵∠DAF+∠GAB=∠GAB+∠ABG，∴∠DAF=∠ABG，∴△ADF≌△BAG，∴AF=BG，∴ DF2＋BG2=AF2+DF2
=AD2=1，∴DF2＋BG2=1
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点 E。
⑴求证：四边形 ADCE 为矩形；
⑵当△ABC 满足什么条件是，四边形 ADCE 是正方形？
(1)证明:∵在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠DAC,
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线,
∴∠MAE=∠CAE.
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=1/2∠MAC+1/2∠CAB=1/2×180°=90°,
又∵AD⊥BC,CE⊥AN,
∴∠ADC=∠CEA=90°,
∴四边形ADCE为矩形.
(2)证明:∵四边形ADCE是正方形,
∴DC=AD,
∵在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,
∴△ADC为等腰直角三角形,
∴∠DAC=∠ACD=45°,
∴∠BAC=90°,
∴△ABC为等腰直角三角形,
即△ABC的形状是等腰直角三角形.