无穷小和无穷大是高数中最重要的一个内容。

无穷小

无穷小其实很简单，就是当x->x0(x->∞)的时候函数f(x)的极限为0，那么称函数f(x)为当x->x0(x->∞)时的无穷小。这个就是无穷小的定义。是不是很好理解，不过这里要注意一下，无穷小并不是很小很小的一个数，不要把无穷小与很小的数混为一谈，因为无穷小是这样一个函数，在x->x0(x->∞)的过程中，这个函数的绝对值能小于任意给定的正数ε, 而很小的数比如百万分之一，就不能小于任意给定的正数ε, 因为你很小的数不管怎么取，那我都可以找到你不满足这个条件的ε, 但零是可以作为无穷小的唯一常数，因为f(x)=0, 那么对于任意给定的ε>0, z总有对于任意给定的ε>0, 总有|f(x)|<ε。

例如：因为函数f(x)= x-1 当x->1的时候函数的极限为0， 所以函数f(x)为当x->1时的无穷小。

g(x) = 1/ x, 当x->∞的时候函数的极限为0， 所以函数g(x)为当x->∞时的无穷小。

函数极限与无穷小有如下关系：在自变量的同一变化过程中x->x0(x->∞)中，函数f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x)=A + α, 其中α是无穷小。

必要性： 设lim f(x) = A (x->x0), 则∀ ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x-x0|<δ时， 有 |f(x)-A|<ε, 令α=f(x)-A, 则α是当x->x0时的无穷小， 且f(x)=A+α。

充分性：设f(x)=A+α, 其中A是常数， α是当x->x0时的无穷小， 于是|f(x)-A| = |α|, 因α是当x->x0是的无穷小。所以∀ε>0, ∃δ>0， 使得当0<|x-x0|<δ时， 有|α| < ε, 即|f(x)-A| < ε。所以A是f(x)当x->x0时的极限。

无穷大

如果当x->x0(x->∞)时， 对应的函数值的绝对值|f(x)|可以大于预先指定的任何很大的正数M， 那么就称函数f(x)是当x->x0(x->∞)时的无穷大。定义如下：

设函数f(x)在x0的某一去心领域内有定义(或|x|大于某一正数时有定义)，如果对于任意给定的正数（不论它有多么大），总存在正数δ（或正数X）， 只要x适合不等式0<|x-x0|<δ(或者|x|>X), 对应的函数值f(x)总满足不等式 |f(x)|>M, 那么称函数f(x)是当x->x0(x->∞)时的无穷大。

按函数极限的定义来说，当x->x0(或x->∞)时的无穷大的函数f(x)的极限是不存在的，但为了便于叙述函数的这一形态，我们也说“函数的极限是无穷大”，并记作 limf(x)=∞(x->x0或者x->∞)。

如果在无穷大的定义中，把|f(x)|>M换成f(x)>M或者f(x)<-M, 就记作lim f(x)=+∞(x->x0/x->∞) 或者lim f(x)=-∞(x->x0/x->∞) ，必须注意，无穷大不是数，不可能与很大的数混为一谈。

无穷大与无穷小有如下关系 。

在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，那么1/f(x)为无穷小，反之，如果f(x)为无穷小且f(x)≠0, 那么1/f(x)为无穷大

证明：设lim f(x)=∞ (x->x0). ∀ε>0, 根据无穷大的定义， 对于M=1/ε, ∃δ>0, 当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)| > M = 1/ε, 即|1/f(x)| < ε, 所以1/f(x)为当x->x0是的无穷小。

反之, 设lim f(x)=0, 且f(x)≠0. ∀M>0, 根据无穷小的定义， 对于ε=1/M, ∃δ>0, 当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)| < ε = 1 / M , 由于当0<|x-x0|<δ时f(x)≠0, 从而|1/f(x)|>M, 所以1/f(x)为当x->x0时的无穷大。