我们都学习过立方和公式：
1^3+2^3+3^3+…+n^3
=(1+2+3+…+n)^2
要证明这个结论很简单，利用数学归纳法即可。
证明：数学归纳法
1.当n=1时
左边=1^3=1，右边=1^2=1
左边=右边，等式成立；
2.假设当n=k时，等式也成立
1^3+2^3+3^3+…+k^3
=(1+2+3+…+k)^2
3.当n=k+1时
左边=1^3+2^3+…+k^3+(k+1)^3
=(1^3+2^3+…+k^3)+(k+1)^3
=(1+2+…+k)^2+(k+1)^3
右边=[1+2+…+k+(k+1)]^2
=[(1+2+…+k)+(k+1)]^2
=(1+2+…+k)^2+2(1+2+…+k)(k+1)+(k+1)^2
=(1+2+…+k)^2+2[k(k+1)/2](k+1)+(k+1)^2
=(1+2+…+k)^2+k(k+1)^2+(k+1)^2
=(1+2+…+k)^2+(k+1)^2(k+1)
=(1+2+…+k)^2+(k+1)^3
左边=右边，等式依然成立
所以，对所有n∈N*，都有
1^3+2^3+3^3+…+n^3
=(1+2+3+…+n)^2，证毕！
今天我们换一种全新的思维来解释这个结论。
首先回顾自然数和公式：
Sn=1+2+3+…+n=n(n+1)/2
证明：
当n=1时
S1=1
(S1)^2=1^2=1=1^3
(S1)^2=1^3
当n≥2时
(Sn)^2-[S(n-1)]^2
=[n(n+1)/2]^2-[n(n-1)/2]^2
=[n(n+1)/2+n(n-1)/2]×[n(n+1)/2-n(n-1)/2]
=(n^2)×n=n^3
(Sn)^2-[S(n-1)]^2=n^3，n≥2
根据累加公式：
1^3+2^3+3^3+…+n^3
=(S1)^2+[(S2)^2-(S1)^2]+[(S3)^2-(S2)^2]+…+{(Sn)^2-[S(n-1)]^2}
=(Sn)^2=(1+2+3+…+n)^2
1^3+2^3+3^3+…+n^3
=(1+2+3+…+n)^2，证毕！
这种证明的思路实在是太巧妙了，非常值得我们去学习。
最后，再给出一种几何解释，这里不详细阐述了，直接上图。
